题目内容

如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.

(1)求证:BH=AC;
(2)求证:BG2-GE2=EA2
(1)(2)证明详见解析.

试题分析:(1)根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC,∠ABE=∠DCA,推出DB=CD,根据ASA证出△DBH≌△DCA即可.(2)根据DB=DC和F为BC中点,得出DF垂直平分BC,推出BG=CG,根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE,在Rt△CGE中,由勾股定理即可推出答案.
试题解析:(1)∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°,∠ABC=45°,
∴∠BCD=45°=∠ABC,∠A+∠DCA=90°,∠A+∠ABE=90°.
∴DB=DC,∠ABE=∠DCA.
在△DBH和△DCA中,∵∠DBH=∠DCA,BD=CD,∠BDH=∠CDA,
∴△DBH≌△DCA(ASA).∴BH=AC.
(2)连接CG,
∵F为BC的中点,DB=DC,∴DF垂直平分BC. ∴BG=CG.
∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,∴∠AEB=∠CEB.
在△ABE和△CBE中,∵∠AEB=∠CEB,BE=BE,∠CBE=∠ABE,
∴△ABE≌△CBE(ASA).∴EC=EA.
在Rt△CGE中,由勾股定理得:CG2﹣GE2=EC2.
∴BG2﹣GE2=EA2.
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