题目内容

在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x²上的动点（点在第一象限内）．连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．
（1）如图1，当m= $数学公式$ 时，
①求线段OP的长和tan∠POM的值；
②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．
①用含m的代数式表示点Q的坐标；
②求证：四边形ODME是矩形．

解：（1）①∵把x= $\text{[math]}$ 代入 y=x²，得 y=2，
∴P（ $\text{[math]}$ ，2），
∴OP= $\text{[math]}$
∵PA丄x轴，
∴PA∥MO．
∴tan∠P0M=tan∠0PA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
②设 Q（n，n²），
∵tan∠QOB=tan∠POM，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴n= $\text{[math]}$
∴Q（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴OQ= $\text{[math]}$ ．
当OQ=OC时，则C₁（0， $\text{[math]}$ ），C₂（0， $\text{[math]}$ ）；
当OQ=CQ时，则C₃（0，1）；
当CQ=CO时，OQ为底，不合题意．
综上所述，当△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形时，所求点C坐标为：C₁（0， $\text{[math]}$ ），C₂（0， $\text{[math]}$ ），C₃（0，1）；

（2）①设 Q（n，n²），
∵△APO∽△BOQ，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，得n= $\text{[math]}$ ，
∴Q（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
②设直线PQ的解析式为：y=kx+b，把P（m，m²）、Q（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）代入，得：

$\text{[math]}$ ，
①-②得：m²- $\text{[math]}$ =（m+ $\text{[math]}$ ）k，
解得：k=m- $\text{[math]}$ ③，
把③代入①，得：b=1，
∴M（0，1）
∵ $\text{[math]}$ ，∠QBO=∠MOA=90°，
∴△QBO∽△MOA
∴∠MAO=∠QOB，
∴QO∥MA
同理可证：EM∥OD
又∵∠EOD=90°，
∴四边形ODME是矩形．
分析：（1）①已知m的值，代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标；由此确定PA、OA的长，通过解直角三角形易得出结论．
②题干要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO、CQ=CO三种情况来判断：
QO=QC时，Q在线段OC的垂直平分线上，Q、O的纵坐标已知，C点坐标即可确定；
QO=OC时，先求出OQ的长，那么C点坐标可确定；
CQ=CO时，OQ为底，不合题意．
（2）①由∠QOP=90°，易求得△QBO∽△MOA，通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标；
②在四边形ODME中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，那么可通过证明两组对边平行来得证．
点评：考查了二次函数综合题，该题涉及的知识点较多，有：解直角三角形、相似三角形、等腰直角三角形的判定、矩形的判定等重要知识点；（1）②题中，要注意分类进行讨论，以免出现漏解、错解的情况．