题目内容
如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥DC；
（2）若AD=
，DC=2，求sin∠CAB的值以及AB的长．
（1）求证：AD⊥DC；
（2）若AD=
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（1）证明：连接OC．
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠OCA．
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AD∥OC．
又∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∴∠ADC=90°，即AD⊥DC；
（2）连接BC．
由（1）知，∠ADC=90°，
∴根据勾股定理知，AC=
=3．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴△ADC∽△ACB，
∴
=
，即
=
．
∴AB=
，
∴sin∠CAB=sln∠DAC=
=
．
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠OCA．
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AD∥OC．
又∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∴∠ADC=90°，即AD⊥DC；
（2）连接BC．
由（1）知，∠ADC=90°，
∴根据勾股定理知，AC=
| AD2+CD2 |
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴△ADC∽△ACB，
∴
| AD |
| AC |
| AC |
| AB |
| ||
| 3 |
| 3 |
| AB |
∴AB=
| 9 |
| 5 |
| 5 |
∴sin∠CAB=sln∠DAC=
| DC |
| AC |
| 2 |
| 3 |
练习册系列答案
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于点D、E，且EF⊥AC，垂足为F，设OB=x，CF=y．
