Question

【题目】小亮在学习中遇到这样一个问题：

如图，点是弧上一动点，线段点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：

根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值．

操作中发现：

①"当点为弧的中点时， "．则上中的值是

②"线段的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；

将线段的长度作为自变量和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；

继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值．(结果保留一位小数)．

Answer 1

【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm或5.0cm或6.3cm；

【解析】

（1）①点为弧的中点时，△ABD≌△ACD，即可得到CD=BD；②由题意得△ACF≌△ABD，即可得到CF=BD；

（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；

（3）画出的图象，当为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD的近似值．

解：（1）①点为弧的中点时，由圆的性质可得：

，

∴△ABD≌△ACD，

∴CD=BD=5.0，

∴；

②∵，

∴，

∵，

∴△ACF≌△ABD，

∴CF=BD，

∴线段的长度无需测量即可得到；

（2）函数的图象如图所示：

（3）由（1）知，

画出的图象，如上图所示，当为等腰三角形时，

①，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm；

②，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm；

③，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm；

综上：当为等腰三角形时，线段长度的近似值为3.5cm或5.0cm或6.3cm．