题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
【答案】(1) y=
x2﹣
x；(2) ∠AOM=150°；(3)点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．
【解析】
试题分析：（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；（2）根据（1）中解析式求出M点坐标，再利用锐角三角函数关系求出∠FOM=30°，进而得出答案；（3）分别根据当△ABC1∽△AOM以及当△C2BA∽△AOM时，利用相似三角形的性质求出C点坐标即可．
试题解析：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠AOE=30°，
∴OE=
，AE=1，
∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），
将两点代入y=ax2+bx得：
，
解得：
，
∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；
（2）过点M作MF⊥OB于点F，
∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，
∴M点坐标为：（1，﹣），
∴tan∠FOM=
=，
∴∠FOM=30°，
∴∠AOM=30°+120°=150°；
（3）当点C在x轴负半轴上时，则∠BAC=150°，而∠ABC=30°，此时∠C=0°，故此种情况不存在；
当点C在x轴正半轴上时，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠ABO=∠OAB=30°，
∴AB=2EO=2，
当△ABC1∽△AOM，
∴
，
∵MO=
=，
∴
，
解得：BC1=2，∴OC1=4，
∴C1的坐标为：（4，0）；
当△C2BA∽△AOM，
∴
，
∴
，
解得：BC2=6，∴OC2=8，
∴C2的坐标为：（8，0）．
综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．
