题目内容
【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点．
(1)求抛物线相应的函数表达式；
(2)点M是线段BC上的点(不与B、C重合)，过M作MN∥y轴交抛物线于N，连接NB．若点M的横坐标为t，是否存在t，使MN的长最大？若存在，求出sin∠MBN的值；若不存在，请说明理由；
(3)若对一切x≥0均有ax2+bx+c≤mx-m+13成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)存在，sin∠MBN=
；(3)-6≤m≤10．
【解析】
(1)用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
(2)先求出直线BC的解析式，设M(t，-t+3)，N(t，-t2+2t+3)，得出MN是t的二次函数，即可求出MN的最大值；延长NM交OB于E，证出△BME为等腰直角三角形，求出BE、BM、BN，过点M作△BNM的高MH，则∠MHB=∠MHN=90°，设BH=x，根据勾股定理求出BH，再由勾股定理求出MH，即可求出sin∠MBN；
(3)令y1=-x2+2x+3；y2=mx-m+13，得直线y2=mx-m+13过点(1，13)；当y1=y2时，-x2+2x+3=mx-m+13，得出△=m2-36=0，求出m的值，当直线y2=mx-m+13过点C时，m=10，结合图象即可得出m的取值范围．
解：(1)根据题意得：
解得：a=-1，b=2，c=3，
∴抛物线的函数表达式为：y=-x2+2x+3；
(2)存在；理由如下：设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B(3，0)、C(0，3)代入得：
，
解得：k=-1，b=3，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
设M(t，-t+3)，N(t，-t2+2t+3)，
则MN=(-t2+2t+3)-(-t+3)=-t2+3t=-(t-
)2+
；
∵-1＜0，
∴MN由最大值，
当t=时，MN的最大值为；
此时M(，)，N(，
)，
∴MN=-=，
∵B(3，0)、C(0，3)，
∴OB=OC=3，
∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，
延长NM交OB于E，如图1所示：
则ME⊥OB，
∴△BME为等腰直角三角形，
∴∠MBE=45°，
∵BE=3-=，
∴BM=
BE=
；
BN=
=
=
；
过点M作△BNM的高MH，则∠MHB=∠MHN=90°，
∵MH2=BM2-BH2=MN2-NH2，
设BH=x，则NH=-x，
∴()2-x2=()2-(-x)2，
解得：x=
，
∴BH=，
∴MH=
=
；
∴sin∠MBN=
=；
(3)令y1=-x2+2x+3；y2=mx-m+13，
∵x=1时，y2=13，
∴直线y2=mx-m+13过点(1，13)，
当y1=y2时，-x2+2x+3=mx-m+13，
整理得：x2+(m-2)x-m+10=0，
△=(m-2)2-4×1×(-m+10)=m2-36=0，
解得：m=-6，或m=6，
当直线y2=mx-m+13过点C时，m=10，
由图象可知(如图2所示)，
当-6≤m≤10时，均有y1≤y2，
∴m的取值范围为：-6≤m≤10．
