题目内容
【题目】已知:内接于
,
,
平分
.
(1)如图,求证:为等边三角形.
(2)如图,为
直径,点
在
上,
于点
,
交
于点
,连接
,将
绕点
逆时针旋转使点
落在
上的点
处,求证:
;
(3)如图,在(2)的条件下,与
交于点
与
交于点
,连接
,若
的面积
,求
的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)连接OA、OC,证明ΔOABΔOBC,根据等边三角形的性质可得AB=BC,又因AB=AC,即可判定ΔABC为等边三角形;(2)过点A作AL⊥CD于L,根据等边三角形的性质可得BD⊥AC,∠ABM=30°,再求得∠ACL=30°,即可判定ΔABMΔACL,由全等三角形的性质可得BM=CL, AM=AL ,再证明RtΔAFMRtΔAGL,即可得FM=GH,由此可得BM-FM=CL-GL,即BF=CG;(3)延长CD至S使得DS=DA,易证ΔADS为等边三角形,即可证得DQAS,由平行线分线段成比例定理可得AQ:QG=SD:DG=5:3,即可得到DA:DG=5:3;设DA=DC=5k,DG=3k,则CG=BF=2k;计算得
,所以
,
;再证明ΔABFΔACG,可得∠BAF=∠CAG,所以∠FAG=∠FAC+∠CAG=∠FAC+∠BAF=60°,即可判定ΔAFG是等边三角形;在
中,
,解
得
;由
,所以
;又因
,可得
;由(2)知
,可判定
,可得
;再求得
,所以等边
的面积
,解得
,所以
(1)证明:连接,
∵,
∴ ,
,
又∵平分
,
∴,
∵,
∴,
∴,
又∵,
∴为等边三角形;
(2)过点作
于
,
∵平分
,
∴ ,
,
∵是直径,
∴,
∴,
∵ ,
∴,
∴,
,
又∵,
∴,
∴,
∴,
即;
(3)延长至
使得
,
易证为等边
,
∵,
∴,
∴,
∴,
设,
则,
计算得,
∴,
,
再证明,
∴,
∴,
∴为等边三角形;
在中,
解得
∵
∴
又∵
∴可证
由(2)知
∴
∴
又∵
∴
等边的面积
∴
∴
∴

【题目】如下表所示,有A、B两组数:
第1个数 | 第2个数 | 第3个数 | 第4个数 | …… | 第9个数 | …… | 第n个数 | |
A组 | ﹣6 | ﹣5 | ﹣2 | …… | 58 | …… | n2﹣2n﹣5 | |
B组 | 1 | 4 | 7 | 10 | …… | 25 | …… |
(1)A组第4个数是 ;
(2)用含n的代数式表示B组第n个数是 ,并简述理由;
(3)在这两组数中,是否存在同一列上的两个数相等,请说明.