Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AB=4 ，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：CB是∠ECP的平分线；
（2）求证：CF=CE；
（3）当 = 时，求劣弧 的长度（结果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，

∴∠OCP=∠CEB=90°，

∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，

∴∠BCE=∠BCP，

∴BC平分∠PCE

（2）证明：连接AC．

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，

∵∠BCP=∠BCE，

∴∠ACF=∠ACE，

∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，

∴△ACF≌△ACE，

∴CF=CE．

（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，

∵△BMC∽△PMB，

∴ = ，

∴BM2=CMPM=3a2，

∴BM= a，

∴tan∠BCM= = ，

∴∠BCM=30°，

∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，

∴ 的长= = π

【解析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）欲证明CF=CE，只要证明△ACF≌△ACE即可；（3）作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；
【考点精析】本题主要考查了垂径定理和切线的性质定理的相关知识点，需要掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．