题目内容
【题目】如图,△ABC和△AOD是等腰直角三角形,AB=AC,AO=AD,∠BAC=∠OAD=90°,点O是△ABC内的一点,∠BOC=130°.
(1)求证:OB=DC;
(2)求∠DCO的大小;
(3)设∠AOB=α,那么当α为多少度时,△COD是等腰三角形.
【答案】(1)证明见解析;(2)40°;(3)当α的度数为115°或85°或145°时,△AOD是等腰三角形.
【解析】
(1)由已知证明△AOB≌△ADC,根据全等三角形的性质即可证得;
(2)由∠BOC=130°,根据周角的定义可得∠BOA+∠AOC=230°,再根据全等三角形的性质继而可得∠ADC+∠AOC=230°,由∠DAO=90°,在四边形AOCD中,根据四边形的内角和即可求得∠DCO的度数;
(3)分三种情况进行讨论即可得.
(1)∵∠BAC=∠OAD=90°,
∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO,
∴∠DAC=∠OAB,
在△AOB与△ADC中,
,
∴△AOB≌△ADC,
∴OB=DC;
(2)∵∠BOC=130°,
∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°,
∵△AOB≌△ADC
∠AOB=∠ADC,
∴∠ADC+∠AOC=230°,
又∵△AOD是等腰直角三角形,
∴∠DAO=90°,
∴四边形AOCD中,∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°;
(3)当CD=CO时,
∴∠CDO=∠COD==70°,
∵△AOD是等腰直角三角形,
∴∠ODA=45°,
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°,
又∠AOB=∠ADC=α,
∴α=115°;
当OD=CO时,
∴∠DCO=∠CDO=40°,
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°,
∴α=85°;
当CD=OD时,
∴∠DCO=∠DOC=40°,
∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC=180°﹣40°﹣40°=100°,
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°,
∴α=145°,
综上所述:当α的度数为115°或85°或145°时,△AOD是等腰三角形.

【题目】为了进一步普及足球知识,传播足球文化,我市举行了“足球进校园”知识竞赛活动,为了解足球知识的普及情况,随机抽取了部分获奖情况进行整理,得到下列不完整的统计图表:
获奖等次 | 频数 | 频率 |
一等奖 | 10 | 0.05 |
二等奖 | 20 | 0.10 |
三等奖 | 30 | b |
优胜奖 | a | 0.30 |
鼓励奖 | 80 | 0.40 |
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)a= , b= , 且补全频数分布直方图;
(2)若用扇形统计图来描述获奖分布情况,问获得优胜奖对应的扇形圆心角的度数是多少?
(3)若我市初中生共有16000人,竞赛活动获奖率为40%,获三等奖以上的学生表示对“足球比较喜欢”,请你估计我市初中生对“足球比较喜欢”的有多少人?