Question

已知二次函数图象顶点是（-1，2），且过（0，

2

3

）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：对任意实数m，点M（m，-m²）都不在这个二次函数的图象上．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）设二次函数的解析式是y=a（x+1）²+2，把（0，

2

3

）代入求出a即可．
（2）把点M的左边代入函数的解析式，看看是否两边相等即可．

解答：（1）解：∵二次函数图象顶点是（-1，2），
∴设二次函数的解析式是y=a（x+1）²+2，
把（0，

2

3

）代入得：

2

3

=a（0+1）²+2，
a=-

4

3

，
∴二次函数的解析式是y=-

4

3

（x+1）²+2，即y=-

4

3

x²-

8

3

x+

2

3

．

（2）证明：∵把M（m，-m²）代入y=-

4

3

（x+1）²+2得：左边=-m²，右边=-

4

3

（m+1）²+2=-

4

3

m²-

8

3

m+

2

3

，
∴左边≠右边，
∴对任意实数m，点M（m，-m²）都不在这个二次函数的图象上．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数图象上点的特征的应用，关键是求出二次函数的解析式．