题目内容
【题目】如图，在⊙O中，C，D分别为半径OB，弦AB的中点，连接CD并延长，交过点A的切线于点E．
（1）求证：AE⊥CE．
（2）若AE=
，sin∠ADE=
，求⊙O半径的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）连接OA，如图，利用切线的性质得∠OAE=90°，再证明CD为△AOB的中位线得到CD∥OA．则可判断AE⊥CE；
（2）连接OD，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，再在Rt△AED中利用正弦定义计算出AD=3
，接着证明∠OAD=∠ADE．从而在Rt△OAD中有sin∠OAD=
，设OD=x，则OA=3x，利用勾股定理可计算出AD=2x，从而得到2x=3，然后解方程求出x即可得到⊙O的半径长．
（1）证明：连接OA，如图，
∵OA是⊙O的切线，
∴AE⊥AB，
∴∠OAE=90°，
∵C，D分别为半径OB，弦AB的中点，
∴CD为△AOB的中位线．
∴CD∥OA．
∴∠E=90°．
∴AE⊥CE；
（2）连接OD，如图，
∵AD=CD，
∴OD⊥AB，
∴∠ODA=90°，
在Rt△AED中，sin∠ADE=
，
∴AD=3，
∵CD∥OA，
∴∠OAD=∠ADE．
在Rt△OAD中，sin∠OAD=，
设OD=x，则OA=3x，
∴AD=
=2x，
即2x=3，解得x=3，
∴OA=3x=，
即⊙O的半径长为．
【题目】数学活动课上，老师提出问题：如图，有一张长4dm，宽3dm的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大．
下面是探究过程，请补充完整：
（1）设小正方形的边长为xdm，体积为ydm3，根据长方体的体积公式得到y和x的关系式： ；
（2）确定自变量x的取值范围是 ；
（3）列出y与x的几组对应值．
x/dm | … |
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| 1 |
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| … |
y/dm3 | … | 1.3 | 2.2 | 2.7 | 3.0 | 2.8 | 2.5 | 1.5 | 0.9 | … |
（说明：表格中相关数值保留一位小数）
（4）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（5）结合画出的函数图象，解决问题：当小正方形的边长约为 dm时，盒子的体积最大，最大值约为 dm3．
