题目内容
【题目】如图,已知的半径为,与外切于点,经过点的直线与、分别交于点、,.
(1)求的长;
(2)当时,求的半径.
【答案】(1);(2)的半径为.
【解析】
(1)作OM⊥AB于M,如图,在Rt△OAM中根据正切定义得到tan∠OAM==,则设OM=x,AM=2x,由勾股定理得OA=5x,所以5x=5,解得x=1,于是得到AM=2,OM=,然后根据垂径定理得到AB=2AM=4;
(2)作PN⊥AC于N,如图,则AN=CN,设⊙P的半径为r,先证明△PAN∽△OAM,利用相似比得到AN=r,则AC=2AN=r,在Rt△OMC中,根据勾股定理得到OC2()2+(r+2)2,再证明△OAC∽△OCP,利用相似比得到OC2=OAOP=5(5+r),则()2+(r+2)2=5(5+r),然后解r的方程即可.
(1)作于,如图,
在中,,
设,,
∴,
∴,解得,
∴,,
∵,
∴,
∴;
(2)作于,如图,则,设的半径为,
∵,
∴,
∴,即,
解得,
∴,
∴,
在中,,
∵,
而,
∴,
∴,
∴,
∴,
整理得,
解得(舍去),,
即的半径为.
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