Question

【题目】某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5～50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，（即出厂价=基础价+浮动价）其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长x成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元.（利润=出厂价-成本价）

薄板的边长（cm）	20	30
出厂价（元/张）	50	70

（1）求一张薄板的出厂价y与边长x之间满足的函数关系式；

（2）求一张薄板的利润p与边长x之间的函数关系式；

（3）若一张薄板的利润是34元，且成本最低，此时薄板的边长为多少？当薄板的边长为多少时，所获利润最大，求出这个最大值。

Answer 1

【答案】（1）y=2x+10 （2）（3）一张薄板的利润是34元，且成本最低时薄板的边长为20cm；当薄板的边长为25cm时，所获利润最大，最大值为875元。

【解析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；
（2）首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y-mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可；
（3）利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．

解：（1）设一张薄板的边长为x cm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n

由表格中数据得，解得

∴y=2x+10

（2）设一张薄板的利润为P元，它的成本价为mx2元，由题意得P= y-mx2＝2x+10-mx2

将x=40，P=26代入P=2x+10-mx2中，得26= 解得m=

∴.

（3）当P=34时， x=20，x=30（舍去），

所以一张薄板的利润是34元，且成本最低时薄板的边长为20cm；当薄板的边长为25cm时，所获利润最大，最大值为875元。