Question

如图，已知反比例函数y＝过点P， P点的坐标为（3－m，2m），m是分式方程的解，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B.
（1）试判断四边形PAOB的形状，并说明理由．

（2）连结AB，E为AB上的一点，EF⊥BP于点F，G为AE的中点，连结OG、FG，试问FG和OG有何数量关系？请写出你的结论并证明.

（3）若M为反比例函数y＝在第三象限内的一动点，过M作MN⊥x轴于交AB的延长线于点N，是否存在一点M使得四边形OMNB为等腰梯形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）四边形PAOB是正方形.理由如下
∵∠AOB=∠OBP=∠OAP=90°
∴四边形PAOB是矩形                                        
m－3＋m－2=－3
解得：m=1
经检验知m=1是原分式方程的解
∴P（2，2）                               
∴PB=PA=2
∴四边形PAOB是正方形. 
（2）OG=FG.证明如下：
延长FE交OA于点H，连结GH

∵∠HFB =∠FBO=∠BOH=90°
∴BOHF是矩形
∴BF=OH
∵∠FBE=∠FEB=45°
∴EF= BF=OH                 
∵∠EHA=90°，G为AE的中点
∴GH=GE=GA                                   
∴∠GEH=∠GAH=45°
∴∠GEF=∠GHO                       
∴△GEF≌△GHO
∴OG=FG                                       
（3）由题意知：∠BNM=45°             

∵要让四边形OBNM为等腰梯形
∴∠BNM=∠NMO=45°                                                
∴设M点的坐标为（x,x），代入
∴x=±2
∵M是第三象限上一动点
∴x=-2
∴M点的坐标为（-2,-2）                                

（1）解出分式方程得到m的值，进而可判断出四边形PAOB的形状；
（2）应猜想相等，找这两条线段所在三角形全等的条件；
（3）易知∠BNM=45°，要想为等腰梯形，∠OMN=45°，那么点M的横纵坐标相等．代入反比例函数即可．