Question

如图，在直角坐标系中，以x轴上一点P（1，0）为圆心的圆与x轴、y轴分别交于A、B、C、D四点，点C的坐标为（0，

3

）．
（1）直接写出A、B、D三点坐标；
（2）若抛物线y=x²+bx+c过A、D两点，求这条抛物线的解析式，并判断点B是否在所求的抛物线上，说明理由．

Answer 1

（1）连接AC、BC，则∠ACB=90°；
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴OC=OD；
易知OC=

3

，则OD=OC=

3

，即D（0，-

3

）；
Rt△ABC中，OC⊥AB，由射影定理，得：
OA•OB=OC²=3，
设⊙O的半径为R，则OA=R-1，OB=R+1，代入上式，得：
（R+1）（R-1）=3，解得R=2；
∴OA=1，OB=3，即A（-1，0），B（3，0）；
所以A、B、D的坐标分别为：A（-1，0），B（3，0），D（0，-

3

）．

（2）将A（-1，0），D（0，-

3

）代入y=x²+bx+c中，得：

c=- 3 1-b+c=0

，解得

b=1- 3 c=- 3

；
∴y=x²+（1-

3

）x-

3

；
当x=3时，x²+（1-

3

）x-

3

=9+（1-

3

）×3-

3

=12-4

3

≠0；
∴点B（3，0）不在抛物线y=x²+（1-

3

）x-

3

上．