Question

（2011•常德）已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O₁，O₂，P是AB的中点，
（1）如图1，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在，上分别取点E、F，使∠AO₁E=∠BO₂F，则有结论①△PO₁E≌△FO₂P，②四边形PO₁CO₂是菱形，请给出结论②的证明；
（2）如图2，若（1）中△ABC是任意三角形，其他条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；
（3）如图3，若PC是⊙O₁的切线，求证：AB²=BC²+3AC²．

Answer 1

解：（1））∵P、O₁、O₂分别为AB、AC、BC的中点，
∴AP=BP，AO₁=BO₂，PO₁BC，PO₂AC，
∴四边形PO₁CO₂是平行四边形，
∵AC=BC，∴PO₁=PO₂，
∴四边形PO₁CO₂是菱形；
（2）∵P、O₁、O₂分别为AB、AC、BC的中点，∴AP=BP，AO₁=BO₂，PO₁BC，PO₂AC，
即PO₁=BO₂，AO₁=PO₂，
∴△APO₁≌△BPO₂；
（3）直角三角形APC中，设AP=c，AC=a，PC=b，
∴c²=a²+b²；AB²=4c²=4（a²+b²），
过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点．

∴CD=a，BD=2b，BC²=a²+4b²，
∴BC²+3AC²=a²+4b²+3a²=4（a²+b²），
∴AB²=BC²+3AC²．

略