Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE=2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．

(1)求证：AE是⊙O的切线；

(2)若DH=9，tanC=，求直径AB的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析

(2)20

【解析】

(1)根据垂径定理得到OE⊥AC，求得∠AFE=90°，求得∠EAO=90°，于是得到结论；

(2)根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠ODB=∠C，求得tanC=tan∠ODB=

设HF=3x，DF=4x，根据勾股定理得到DF=，根据相似三角形的性质得到

求得AF=CF=

设OA=OD=x，根据勾股定理即可得到结论．

(1)∵D是的中点

∴OE⊥AC

∴∠AFE=90°

∴∠E+∠EAF=90°

∵∠AOE=2∠C，∠CAE=2∠C

∴∠CAE=∠AOE

∴∠E+∠AOE=90°

∴∠EAO=90°

∴AE是⊙O的切线

(2)连接AD，在RtADH中

∵∠DAC=∠C

∴tan∠DAC=tanC=

∵DH=9

∴AD=12

在RtBDA中，∵tanB=tanC=

∴sinB=

∴AB=20