题目内容

【题目】四边形ABCD的对角线交于点E,且AE=EC,BE=ED,以AB为直径的半圆过点E,圆心为O.
(1)利用图1,求证:四边形ABCD是菱形.

(2)如图2,若CD的延长线与半圆相切于点F,且直径AB=8.
①△ABD的面积为
的长

【答案】
(1)解:∵AE=EC,BE=ED,

∴四边形ABCD是平行四边形.

∵AB为直径,且过点E,

∴∠AEB=90°,即AC⊥BD.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴四边形ABCD是菱形.


(2)16, π
【解析】(2)①连结OF.

∵CD的延长线与半圆相切于点F,

∴OF⊥CF.

∵FC∥AB,

∴OF即为△ABD中AB边上的高.

∴SABD= AB×OF= ×8×4=16,

∵点O是AB中点,点E是BD的中点,

∴SOBE= SABD=4.②过点D作DH⊥AB于点H.

∵AB∥CD,OF⊥CF,

∴FO⊥AB,

∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°.

∴四边形OHDF为矩形,即DH=OF=4.

∵在Rt△DAH中,sin∠DAB= =

∴∠DAH=30°.

∵点O,E分别为AB,BD中点,

∴OE∥AD,

∴∠EOB=∠DAH=30°,

的长度= = π.

所以答案是:16, π.

【考点精析】通过灵活运用圆周角定理和切线的性质定理,掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径即可以解答此题.

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