题目内容

【题目】文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践,为了便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2:1,文昌到三亚的火车票价格(部分)如下表所示:

运行区间

公布票价

学生票

上车站

下车站

一等座

二等座

二等座

文昌

三亚

81(元)

68(元)

51(元)


(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?
(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?

【答案】
(1)解:设参加社会实践的老师有m人,学生有n人,则学生家长有2m人,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则全体学生都需买二等座学生票,依题意得:

解得

则2m=20,

答:参加社会实践的老师、家长与学生分别有10人、20人、180人.


(2)解:解:由(1)知所有参与人员总共有210人,其中学生有180人,

①当180≤x<210时,最经济的购票方案为:

学生都买学生票共180张,(x﹣180)名成年人买二等座火车票,(210﹣x)名成年人买一等座火车票.

∴火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51×180+68(x﹣180)+81(210﹣x),

即y=﹣13x+13950(180≤x<210),

②当0<x<180时,最经济的购票方案为:

一部分学生买学生票共x张,其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共(210﹣x)张,

∴火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51x+81(210﹣x),

即y=﹣30x+17010(0<x<180),

答:购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式是y=﹣13x+13950(180≤x<210)或y=﹣30x+17010(0<x<180).


(3)解:由(2)小题知,当180≤x<210时,y=﹣13x+13950,

∵﹣13<0,y随x的增大而减小,

∴当x=209时,y的值最小,最小值为11233元,

当x=180时,y的值最大,最大值为11610元.

当0<x<180时,y=﹣30x+17010,

∵﹣30<0,y随x的增大而减小,

∴当x=179时,y的值最小,最小值为11640元,

当x=1时,y的值最大,最大值为16980元.

所以可以判断按(2)小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花11233元,最多要花16980元,

答:按(2)小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花11233元,最多要花16980元.


【解析】(1)设参加社会实践的老师有m人,学生有n人,则学生家长有2m人,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则全体学生都需买二等座学生票,根据题意得到方程组 ,求出方程组的解即可;(2)有两种情况:①当180≤x<210时,学生都买学生票共180张,(x﹣180)名成年人买二等座火车票,(210﹣x)名成年人买一等座火车票,得到解析式:y=51×180+68(x﹣180)+81(210﹣x),②当0<x<180时,一部分学生买学生票共x张,其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共(210﹣x)张,得到解析式是y=﹣30x+17010;(3)由(2)小题知,当180≤x<210时,y=﹣13x+13950和当0<x<180时,y=﹣30x+17010,分别讨论即可.

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