题目内容
【题目】如图,抛物线 与
轴交于
、
两点(点
在点
的左侧),点
的坐标为
,与
轴交于点
,作直线
.动点
在
轴上运动,过点
作
轴,交抛物线于点
,交直线
于点
,设点
的横坐标为
.
(Ⅰ)求抛物线的解析式和直线 的解析式;
(Ⅱ)当点 在线段
上运动时,求线段
的最大值;
(Ⅲ)当以 、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出
的值.
【答案】解:(I)∵抛物线过A、C两点,
∴代入抛物线解析式可得 ,解得
,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3,
令y=0可得,﹣x2+2x+3=0,解x1=﹣1,x2=3,
∵B点在A点右侧,
∴B点坐标为(3,0),
设直线BC解析式为y=kx+s,
把B、C坐标代入可得 ,解得
,
∴直线BC解析式为y=﹣x+3;
(Ⅱ)∵PM⊥x轴,点P的横坐标为m,
∴M(m,﹣m2+2m+3),N(m,- m+3),
∵P在线段OB上运动,
∴M点在N点上方,
∴MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣ )2+
,
∴当m= 时,MN有最大值,MN的最大值为
;
(Ⅲ)∵PM⊥x轴,
∴MN∥OC,
当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时,则有OC=MN,
当点P在线段OB上时,则有MN=﹣m2+3m,
∴﹣m2+3m=3,此方程无实数根,
当点P不在线段OB上时,则有MN=﹣m+3﹣(﹣m2+2m+3)=m2﹣3m,
∴m2﹣3m=3,解得m= 或m=
,
综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时,m的值为 或
【解析】(Ⅰ)利用待定系数法可求出抛物线的解析式和直线BC解析式;
(Ⅱ)点P的横坐标为m,根据题意可用m表示出M、N的坐标,从而得出MN与m的函数关系式,再化成顶点式可求其最值;
(Ⅲ)当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时,则有OC=MN,且OC∥MN,可得MN=﹣m+3﹣(﹣m2+2m+3)=m2﹣3m,即m2﹣3m=3,从而求出m的值.

【题目】某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售,有关信息如下表:
原进价 | 零售价 | |
餐桌 | a | 270 |
餐椅 | b | 70 |
若购进4张餐桌19张餐椅需要1360元;若购进6张餐桌26张餐椅需要1940元.
求表中a,b的值;
今年年初由于原材料价格上涨,每张餐桌的进价上涨了10元,每张餐椅的进价上涨了
,商场决定购进餐桌30张,餐椅170张进行销售,全部售出后,要求利润不低于7380元,求m的最大值.