Question

已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA＝∠AOE，交AB的延长线于点D.
 
小题1:求证：FD是⊙O的切线；
小题2:设OC与BE相交于点G，若OG＝4，求⊙O
半径的长；
小题3:在（2）的条件下，当OE＝6时，求图中阴影部分的面积.（结果保留根号）

Answer 1

小题1:连接OC．∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∵OE⊥AC∠FCA=∠AOE
∴∠A+∠AOE=∠ACO+∠FCA=90°
∴∠FCO=90°
∴FD是⊙O的切线（4分）

小题2:∵OE⊥AC，AO=CO
∴AE=EC
∵AO=BO
∴OE∥CB且2OE=BC
∴△GEO∽△CGB
∴
∵OG＝4
∴CG=8
OC=CG+OG=12
⊙O半径的长为12.  （7分）
小题3:∵OE＝6，根据（2）可得BC=12
∵⊙O半径的长为12.
∴△OCB是等边三角形，即∠COB=60°
DC=OCtan∠COB=12
=72,
=24
阴影部分的面积.=（10分）

（1）连接OC．欲证明FD是⊙O的切线，只需证明∠FCO=90°；
(2)利用△GEO∽△CGB求出半径；
（3）先求出△OCD面积，再求出扇形OCB面积，这样就能求出阴影面积。