题目内容
【题目】如图1，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，A、B（点A在点B的左侧）两点的横坐标是方程
的两个根，点D在y轴上其中
．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）若P是第一象限位于直线BD上方的一点，过P作
于E，过E作
轴于H点，作PF∥y轴交直线BD于F，F为BD中点，其中△PEF的周长是
；若M为线段AD上一动点，N为直线BD上一动点，连接HN，NM，求
的最小值，此时y轴上有一个动点G，当
最大时，求G点坐标；
（3）在（2）的情况下，将△AOD绕O点逆时针旋转60°后得到
如图2，将线段
沿着x轴平移，记平移过程中的线段为
，在平面直角坐标系中是否存在点S，使得以点
，
，E，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点S的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）S平行四边形ABCD=48；（2）G（0，
），见解析；（3）满足条件的点S的坐标为
或
或
，见解析.
【解析】
（1）解方程求出A，B两点坐标，在Rt△AOD中，求出OD即可解决问题．
（2）首先证明△EHB也是等腰直角三角形，以HE，HB为边构造正方形EHBJ，连接JN，延长JE交OD于Q，作MT⊥OD于T，连接JT．在Rt△DMT中，易知MT=
DM，根据对称性可知：NH=NJ，推出HN+MM-DM=NJ+MN-MT≤JT，推出当JT最小时，HN+MM-DM的值最小．如图2中当点M在JQ的延长线上时，HN+MM-DM的值最小，此时M（-
，5），作点M关于y轴对称点M′，连接CM′，延长CM′交y轴于点G，此时|CG-MG|最大，求出直线CM′的解析式即可解决问题．
（3）分五种情形分别画出图形，利用菱形的性质，中点坐标公式等知识一一求解即可．
解：（1）由
得到x=-2或6；
∴A（-2，0），B（6，0）；
在Rt△ADO中，∵∠AOD=90°，AD=2
，OA=2；
，
∵OB=6，
∴OD=OB=6，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴S平行四边形ABCD=ABOD=8×6=48；
（2）如图1中，
∵EH⊥OB，
∴∠EHB=90°，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°，
∴△EHB也是等腰直角三角形，
以HE，HB为边构造正方形EHBJ，连接JN，延长JE交OD于Q，作MT⊥OD于T，连接JT，在Rt△DMT中，易知MT=DM，
∵四边形EHBJ是正方形，
根据对称性可知：NH=NJ，
∴HN+MM-DM=NJ+MN-MT≤JT，
∴当JT最小时，HN+MM-
DM的值最小，
∵JT≤JQ，
∴JT≤OB=6，
∴HN+MM-DM的最小值为6．
如图2中，∵PF∥y轴，
∴∠PFE=∠ODB=45°，
∴△PEF是等腰直角三角形，设PE=EF=a，则PF=
a，
由题意2a+a=4+4，
∴a=2，
∵FB=FD，
∴F（3，3），
∴E（1，5），
∴当点M在JQ的延长线上时，HN+MM-DM的值最小，此时M（-，5），作点M关于y轴对称点M′，连接CM′，延长CM′交y轴于点G，此时|CG-MG|最大，
∵C（8，6），M′（，5），
∴直线CM′的解析式为
，
∴G（0，）；
（3）存在．设菱形的对角线的交点为J．
①如图3-1中，当O′D″是对角线时，设ES交x轴于T．
∵四边形EO′SD″是菱形，
∴ES⊥O′D″，
∴直线ES的解析式为
，
∴T
，
在Rt△JTO′中，易知O′J=3，∠TO′J=30°，
∴O′T=2
，
，
∵JE=JS，
∴可得S，
②如图3-2中，当EO′=O′D″=6时，可得四边形SEO′D″是菱形，设O′（m，0）．
则有：（m-1）2+52=36，
∴m=1+
或1- ，
∴O′（1+，0）或（1-，0）（如图3-3中），
∴D″（1+-3，3），
∴
；
∵JS=JO′，
，
③如图3-3中，当EO′=O′D″时，由②可知O′（1-，0）．同法可得
④如图3-4中，当ED″=D″O′=6时，可得四边形ESO′D″是菱形．
设D″（m，3），则（m-1）2+22=36，
∴m=1+4 （图5中情形），或m=1-4，
，
,
∵JD″=JS，
∴可得S（1+3 ，2），
⑤如图3-5中，当D″E=D″O时，由④可知D″（1+4 ，3），
，
，
∵JD″=JS，
∴可得S（1+3，2），
综上所述，满足条件的点S的坐标为或或.
