Question

如图所示，已知AB为⊙O的直径，点P为OA上一点，弦MN过点P，且AP=2，OP=3，MP=2

2

，若OQ⊥MN于点Q，求OQ的长．

Answer 1

分析：连接ON，首先利用相交弦定理求得PN的长，即可求得MN的长，根据垂径定理求得QM的长，然后在直角△ONP中利用勾股定理求得OQ的长．

解答：解：连接ON．则ON=OA=OB=AP+OP=5，
∴BP=OB+OP=5+3=8，
∵AP•BP=MP•PN，
∴PN=

AP•BP

MP

=

8×2

2 2

=4

2

，
∴MN=MP+PN=2

2

+4

2

=6

2

，
∵OQ⊥MN，
∴QN=

1

2

MN=3

2

，
在直角△ONQ中，OQ=

ON2-QN2

=

52-(3 2 )2

=

7

．

点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．