Question

如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．

解答：（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED，

CB

=

DB

．（2分）
∴∠BCD=∠BAC．（3分）
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．
∴∠ACO=∠BCD．（5分）

（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB-EB=（R-8）cm，
CE=

1

2

CD=

1

2

×24=12cm，（6分）
在Rt△CEO中，由勾股定理可得
OC²=OE²+CE²，即R²=（R-8）²+12²（8分）
解得R=13，∴2R=2×13=26cm．
答：⊙O的直径为26cm．（10分）

点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．