Question

【题目】如图，四边形是正方形，点的坐标是．

（1）正方形的边长为 ，点的坐标是 ；

（2）将正方形绕点顺时针旋转，点，，旋转后的对应点为，，，求点的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；

（3）动点从点出发，沿折线方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点从点出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为秒，当它们相遇时同时停止运动，当为等腰三角形时，求出的值（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（1）8，(,)；（2）；（3）t＝8或

【解析】

（1）由正方形性质可得AO＝AC＝OB＝BC，AB⊥OC，OE＝EC，AE＝BE，由勾股定理可求AO，AE的长，即可求解；
（2）由旋转的性质可得OA＝OA＝4，∠OAB＝∠A＝90°，可求AC的长，由S重叠部分＝S△OBCS△APC可求重叠部分的面积；
（3）利用分类讨论思想和等腰三角形的性质可求t的值．

解：（1）如图，连接AB，交OC于点E，

∵四边形AOBC是正方形
∴AO＝AC＝OB＝BC，AB⊥OC，OE＝EC，AE＝BE，
∵点C的坐标是
∴OC＝
∴OE＝EC＝
∵OA2＋AC2＝OC2＝128，
∴OA＝8
∴

∴正方形边长为8，点A坐标为(,)；

故答案为：8，(,)

（2）如图，

∵将正方形绕点顺时针旋转45°，∠AOC＝45°
∴点A落在OC上，
∴OA＝OA＝8，∠OAB＝∠A＝90°
∴点A（8，0），AC＝OCOA＝-8

∵∠ACB＝45°，
∴∠APC＝∠ACP＝45°
∴AC＝AP＝-8

∴S重叠部分＝S△OBCS△APC＝-=

（3）∵t＝8时，点P与A重合，点Q与C重合，且△OAC是等腰三角形
∴当t＝8时，△OPQ为等腰三角形
当点P在OA上，点Q在OB上时，OP＝t，OQ＝2t，则直角三角形OPQ不是等腰三角形；
当点P在OA上，点Q在BC上时，
∵△OPQ是等腰三角形
∴点Q在OP的垂直平分线上，

∴

∴
当点P在AC上时，点Q在AC上时，OP≠OQ≠PQ
∴△OPQ不是等腰三角形．
∴当t＝8或时，△OPQ为等腰三角形．