题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像交坐标轴于A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,点P是直线BC下方抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)是否存在点P,使△POC是以OC为底边的等腰三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)动点P运动到什么位置时,△PBC面积最大,求出此时P点坐标和△PBC的最大面积.
【答案】(1)
(2)存在,P( )
(3)当P点位(2,-6)时,最大面积为8
【解析】
(1)由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上,则可求得P点纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标;
(3)过P作PE⊥x轴,交x轴于点E,交直线BC于点F,用P点坐标可表示出PF的长,则可表示出△PBC的面积,利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标.
(1)设抛物线解析式为
把A. B. C三点坐标代入可得 解得
∴抛物线解析式为
(2)作OC的垂直平分线DP,交OC于点D,交BC下方抛物线于点P,如图1,
∴PO=PD,此时P点即为满足条件的点,
∵C(0,4),
∴D(0,2),
∴P点纵坐标为2,
代入抛物线解析式可得,解得
(小于0,舍去)或
∴存在满足条件的P点,其坐标为
(3)∵点P在抛物线上,
∴可设P,
过P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点F,如图2,
∵B(4,0),C(0,4),
∴直线BC解析式为y=x4,
∴F(t,t4),
∴
∴S=S
+S
=
PFOE+
PFBE=
PF(OE+BE)
=PFOB
×4=2(t2)2+8,
∴当t=2时,S最大值为8,此时t
3t4=6,
∴当P点坐标为(2,6)时,△PBC的最大面积为8.

【题目】某校为了了解全校400名学生参加课外锻炼的情况,随机对40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间进行了调查,结果如下:(单位:分)
40 21 35 24 40 38 23 52 35 62 36 15 51 45 40 42 40 32 43 36
34 53 38 40 39 32 45 40 50 45 40 40 26 45 40 45 35 40 42 45
(1)补全频率分布表和频率分布直方图.
分组 | 频数 | 频率 |
4.5﹣22.5 | 2 | 0.050 |
22.5﹣30.5 | 3 | |
30.5﹣38.5 | 10 | 0.250 |
38.5﹣46.5 | 19 | |
46.5﹣54.5 | 5 | 0.125 |
54.5﹣62.5 | 1 | 0.025 |
合计 | 40 | 1.000 |
(2)填空:在这个问题中,总体是____,样本是____.由统计结果分析的,这组数据的平均数是38.35(分),众数是____,中位数是_____.
(3)如果描述该校400名学生一周内平均每天参加课外锻炼时间的总体情况,你认为用平均数、众数、中位数中的哪一个量比较合适?
(4)估计这所学校有多少名学生,平均每天参加课外锻炼的时间多于30分?
【题目】小云想用7天的时间背诵若干首诗词,背诵计划如下:
①将诗词分成4组,第i组有首,i =1,2,3,4;
②对于第i组诗词,第i天背诵第一遍,第()天背诵第二遍,第(
)天背诵第三遍,三遍后完成背诵,其它天无需背诵,
1,2,3,4;
第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | 第5天 | 第6天 | 第7天 | |
第1组 | |||||||
第2组 | |||||||
第3组 | |||||||
第4组 |
③每天最多背诵14首,最少背诵4首.
解答下列问题:
(1)填入补全上表;
(2)若,
,
,则
的所有可能取值为______;
(3)7天后,小云背诵的诗词最多为______首.