题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像交坐标轴于A-10),B40),C0-4)三点,点P是直线BC下方抛物线上一动点.

1)求这个二次函数的解析式;

2)是否存在点P,使△POC是以OC为底边的等腰三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由;

3)动点P运动到什么位置时,△PBC面积最大,求出此时P点坐标和△PBC的最大面积.

【答案】(1)

(2)存在,P

3)当P点位(2,-6)时,最大面积为8

【解析】

1)由ABC三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;

2)由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上,则可求得P点纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标;

3)过PPEx轴,交x轴于点E,交直线BC于点F,用P点坐标可表示出PF的长,则可表示出△PBC的面积,利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标.

(1)设抛物线解析式为

A. B. C三点坐标代入可得 解得

∴抛物线解析式为

(2)OC的垂直平分线DP,交OC于点D,交BC下方抛物线于点P,如图1

PO=PD,此时P点即为满足条件的点,

C(0,4)

D(0,2)

P点纵坐标为2

代入抛物线解析式可得,解得 (小于0,舍去) ∴存在满足条件的P,其坐标为

(3)∵点P在抛物线上,

∴可设P

PPEx轴于点E,交直线BC于点F,如图2

B(4,0),C(0,4)

∴直线BC解析式为y=x4

F(t,t4)

S=S+S=PFOE+PFBE=PF(OE+BE)

=PFOB ×4=2(t2)2+8

∴当t=2,S最大值为8,此时t3t4=6

∴当P点坐标为(2,6)时,△PBC的最大面积为8.

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