Question

【题目】如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（，），对称轴交AB于点N．

①求抛物线的解析式；

②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；

（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．

【解析】

（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝a，把点B的坐标代入求得a的值即可；

②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐标，然后推知PN＝MN是否成立即可；

（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．

解：①如图1，

∵顶点M的坐标是，

∴设抛物线解析式为y＝（a≠0）．

∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，

∴点B的坐标是（0，4）．

又∵点B在该抛物线上，

∴＝4，

解得a＝﹣2．

故该抛物线的解析式为：y＝＝﹣2x2+2x+4；

②不存在．理由如下：

∵抛物线y＝的对称轴是直线x＝，且该直线与直线AB交于点N，

∴点N的坐标是．

∴．

设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），

∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．

∵PD∥MN．

当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝．

解得 m1＝（舍去），m2＝．

此时P（，1）．

∵PN＝，

∴PN≠MN，

∴平行四边形MNPD不是菱形．

∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；

（2）存在，理由如下：

设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），

∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，

∴P（n，﹣2n+4）．

由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝OBOA＝×4×2＝4．

则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．

S△ABD＝（yD﹣yP）（xA﹣xB）

＝yD﹣yP

＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）

＝﹣2n2+4n

＝﹣2（n﹣1）2+2．

当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．

此时点D的坐标是（1，4）．