题目内容

如图，直角梯形ABCD置于平面直角坐标系中，BC与x轴重合，点A在y轴上，且AD∥BC，AD=CD，若sin∠ABO= $数学公式$ ，梯形ABCD的面积为60．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P从点A出发，沿AB向终点B运动，运动速度为每秒3个单位长度，过点P作AB的垂线交x轴于点E交y轴于点F，设点P的运动时间为t秒，线段EF长为y，求y与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接DE、DF，当cos∠EDF= $数学公式$ 时，求t的值．

解：（1）∵梯形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，∠D=90°，AD=CD，
∴四边形ADCO为正方形，
∴AD=OA=OC．
又∵sin∠ABO= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OA= $\text{[math]}$ OB，
∴S_梯形ABCD= $\text{[math]}$ （AD+OB+OC）•OA= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ OB× $\text{[math]}$ OB=60，
∴OB=8，
∴OA=6，
∴A（0，6），B（-8，0）．
设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），则
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
故直线AB的解析式为：y= $\text{[math]}$ x+6；

（2）∵OA=6，OB=8，
∴AB= $\text{[math]}$ =10．
∵PE⊥AB，
∴cos∠PAF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得，AF=5t．
∴根据勾股定理求得PF=4t．
∴cos∠OFE=cos∠PFA，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ （0≤t＜ $\text{[math]}$ ）；

（3）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即OE= $\text{[math]}$ （6-5t），
∴CE=OC-OE=6- $\text{[math]}$ （6-5t）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t．
∵cos∠EDF= $\text{[math]}$ ，cos∠EDF是锐角，
∴cos∠EDF=45°．
∵∠ADF+∠CDE=45°，
∴点A关于直线DE的对称点与点C关于直线DE的对称点重合，即图中的点G，
∴AF+CE=FG+CG=EF，即AF+CE=EF．
∴5t+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t=- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）易证四边形ADCO为正方形，然后由正弦三角函数的定义、勾股定理求得线段OB与OA的数量关系，最后由梯形的面积公式求得OA、OB的长度．由待定系数法求得直线AB的解析式；
（2）由（1）中OA、OB的长度，利用勾股定理求得AB=10；然后利用三角函数的定义求得AF=5t、PF=4t；最后根据对顶角相等、余弦三角函数的定义求得y与t的函数关系式．定义域由y所表示的实际意义来确定；
（3）易证得∠EDF=45°．又因为∠ADF+∠CDE=45°，所以AF+CE=EF．
点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有勾股定理、解直角三角形、待定系数法求一次函数的解析式、梯形的面积公式等．