题目内容
如图,已知△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过D作DE⊥BC,垂足为E,连结OE,CD=
,∠ACB=30°.
(1)求证:点D是AC的中点.
(2)求证:DE是⊙O的切线.
(3)分别求AB,OE的长.
3 |
(1)求证:点D是AC的中点.
(2)求证:DE是⊙O的切线.
(3)分别求AB,OE的长.
考点:切线的判定,等腰三角形的性质,圆周角定理
专题:
分析:(1)连接BD,根据圆周角定理求出BD⊥AC,根据等腰三角形性质求出即可.
(2)连接OD,根据三角形中位线求出OD∥BC,求出DE⊥OD,根据切线的判定推出即可.
(3)求出DE、CE,在△DEB中求出BE,即可求出AB,求出OD,在△ODE中,根据勾股定理求出OE即可.
(2)连接OD,根据三角形中位线求出OD∥BC,求出DE⊥OD,根据切线的判定推出即可.
(3)求出DE、CE,在△DEB中求出BE,即可求出AB,求出OD,在△ODE中,根据勾股定理求出OE即可.
解答:(1)证明:连接BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
即BD⊥AC,
∵AB=BC,
∴D是AC的中点.
(2)证明:连接OD,
∵D为AC中点,AO=BO,
∴OD∥BC,
∵DE⊥BC,
∴DE⊥OD,
∵OD为半径,
∴DE是⊙O的切线.
(3)解:∵在Rt△CDB中,∠ADB=∠CDB=90°∠C=30°,CD=
,
∴DE=
,CE=
×
=
,∠CBD=60°,
∵DE⊥BC,
∴∠DEB=90°,
∴∠BDE=30°,
∴BE=DE×tan30°=
,
∴AB=BC=BE+CE=
+
=2,
在Rt△哦、ODE中,OD=
AB=1,DE=
,由勾股定理得:OE=
=
.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
即BD⊥AC,
∵AB=BC,
∴D是AC的中点.
(2)证明:连接OD,
∵D为AC中点,AO=BO,
∴OD∥BC,
∵DE⊥BC,
∴DE⊥OD,
∵OD为半径,
∴DE是⊙O的切线.
(3)解:∵在Rt△CDB中,∠ADB=∠CDB=90°∠C=30°,CD=
3 |
∴DE=
| ||
2 |
| ||
2 |
3 |
3 |
2 |
∵DE⊥BC,
∴∠DEB=90°,
∴∠BDE=30°,
∴BE=DE×tan30°=
1 |
2 |
∴AB=BC=BE+CE=
1 |
2 |
3 |
2 |
在Rt△哦、ODE中,OD=
1 |
2 |
| ||
2 |
12+(
|
| ||
2 |
点评:本题考查了圆周角定理,勾股定理,解直角三角形,切线的判定和性质的应用,主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力.
练习册系列答案
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若点P(1-2a,a-1)关于原点对称的点是第一象限的点,则a的取值范围是( )
A、a>
| ||
B、a<
| ||
C、
| ||
D、
|
方程ax2-2x-1=0有实数解,则( )
A、a≥-1且a≠0 |
B、a≥-1 |
C、a≥1且a≠0 |
D、a≥1 |