题目内容

【题目】如图,⊙O△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平行线交⊙O与点D,过点D的切线分别交ABAC的延长线与点EF

1)求证:AF⊥EF

2)小强同学通过探究发现:AF+CF=AB,请你帮忙小强同学证明这一结论.

【答案】1)首先连接OD,由EF⊙O的切线,可得OD⊥EF,由∠BAC的平行线交⊙O与点D,易证得OD⊥BC,即可得BC∥EF,由AB为直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得AC⊥BC,继而证得AF⊥EF

2)首先连接BD并延长,交AF的延长线于点H,连接CD,易证得△ADH≌△ADB△CDF≌△HDF,继而证得AF+CF=AB

【解析】

1)首先连接OD,由EF⊙O的切线,可得OD⊥EF,由∠BAC的平行线交⊙O与点D,易证得OD⊥BC,即可得BC∥EF,由AB为直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得AC⊥BC,继而证得AF⊥EF

2)首先连接BD并延长,交AF的延长线于点H,连接CD,易证得△ADH≌△ADB△CDF≌△HDF,继而证得AF+CF=AB。 

证明:(1)连接OD

∵EF⊙O的切线,∴OD⊥EF

∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠BAD

∴OD⊥BC∴BC∥EF

∵AB为直径,∴∠ACB=90°,即AC⊥BC

∴AF⊥EF

2)连接BD并延长,交AF的延长线于点H,连接CD

∵AB是直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BH

∴∠ADB=∠ADH=90°

△ABD△AHD中,

∴△ABD≌△AHDASA)。∴AH=AB

∵EF是切线,∴∠CDF=∠CAD∠HDF=∠EDB=∠BAD∴∠EDF=∠HDF

∵DF⊥AFDF是公共边,∴△CDF≌△HDFASA)。∴FH=CF

∴AF+CF=AF+FH=AH=AB,即AF+CF=AB

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