Question

如图，已知抛物线过A、B、C三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），且3AB=4OC．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的关系式，并求出这个二次函数的最大值．

Answer 1

分析：（1）先得到OA=1，OB=3，则AB=4，再利用3AB=4OC得到OC=3，可得到C点坐标为（0，3）；
（2）设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），把C点坐标代入可求出a的值为-1，则二次函数的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，然后利用二次函数的最值问题可确定此二次函数的最大值为4．

解答：解：（1）∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∴AB=4，
∵3AB=4OC，
∴OC=3，
∴C点坐标为（0，3）；

（2）设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得a×1×（-3）=3，
解得a=-1，
∴二次函数的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，
∵a=-1＜0，
∴当x=-

2

2×(-1)

=1时，y_最大值=

4×(-1)×3-22

4×(-1)

=4．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：设二次函数的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂）（其中a≠0，x₁，x₂为抛物线与x轴两交点的横坐标），再把函数图象上第三个点的坐标代入得到关于a的方程组，解方程求出a的值，从而确定二次函数的解析式．也考查了二次函数的最值问题．