Question

如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=

2

x

于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD．
（1）求证：AD平分∠CDE；
（2）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：对于y=x+b，令x=0，则y=b；令y=0，则x=-b，
∴A点坐标为（-b，0），B点坐标为（0，b），
∴OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∴∠DAC=∠OAB=45°
又∵DC⊥x轴，DE⊥y轴，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴∠ADC=45°，
∴AD平分∠CDE；

（2）存在直线AB，使得OBCD为平行四边形．利用如下：
若四边形OBCD为平行四边形时，则AO=AC，OB=CD，
由（1）知AO=BO，AC=CD
∴OC=2OB=-2b，DC=-b，
∴D点坐标为（-2b，-b），
把D（-2b，-b）代入y=

2

x

得-2b•（-b）=2，解得b=1或b=-1，
∵b＜0，
∴b=-1，
∴存在直线AB：y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形．