Question

如图，菱形ABCD的边长及对角线BD的长都为m，且关于x的方程x²-（m+2）x+m+5=0有两个相等的实数根，点E、F分别为AD、CD上的两点，满足AE+CF=m．
（1）求四边形EBFD的面积；
（2）判断△BEF的形状，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）首先根据一元二次方程根的判别式△=0可计算出m的值，进而得到BD和菱形的边长，再证明△BDE≌△BCF，可得四边形EBFD的面积=△DBC的面积，然后计算出△DBC的面积即可；
（2）△BEF是等边三角形，先根据△BDE≌△BCF得到EB=FB，进而得到△BEF是等腰三角形，再证出∠2+∠3=60°，可得到结论．

解答：解：（1）∵关于x的方程x²-（m+2）x+m+5=0有两个相等的实数根，
∴[-（m+2）]²-4（m+5）=0，
解得：m=±4
∵m＞0，
∴m=4，
∴菱形ABCD的边长为4，对角线BD=4，
∴AB=AD=BD=4，BC=CD=BD=4，
∴△ABD与△BCD都是等边三角形，
∴∠BDE=∠C=60°，
∵AE+CF=m=4，
∴CF=4-AE，
又∵DE=AD-AE=4-AE，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，
∵

DE=CF ∠BDE=∠C=60° DB=BC

，
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴四边形EBFD的面积=△DBC的面积，
连接AC，交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，∠DCB=60°，
∴AC⊥BD，∠BCO=30°，
∴CO=2

3

，
∴四边形EBFD的面积=△DBC的面积=

1

2

×DB×CO=

1

2

×4×2

3

=4

3

；

（2）△BEF是等边三角形；
∵△BDE≌△BCF，
∴∠1=∠3，EB=FB，
∵∠DBC=60°，
∴∠2+∠1=60°，
∴∠2+∠3=60°，
∴△BEF是等边三角形．

点评：此题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，关键是算出m的值，证明△BDE≌△BCF得到四边形EBFD的面积=△DBC的面积．