题目内容
【题目】如图，在
中，
，
是边
上一点，
，
，垂足分别是
、
，
．
求证：
；
若
，求证：四边形
是正方形．
【答案】证明见解析
【解析】
（1）根据相似三角形的性质得到
=
，根据AB=AC，得到AE=AF，利用HL定理证明；
（2）根据等腰三角形的性质得到BC=2BD，得到BD=AD，根据正方形的判定定理即可证明．
（1）∵△AEF∽△ABC，∴=．
∵AB=AC，∴AE=AF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°．在Rt△AED和Rt△AFD中，∵
，∴Rt△AED≌Rt△AFD；
（2）∵Rt△AED≌Rt△AFD，∴∠EAD=∠FAD．
∵AB=AC，∴AD⊥BC，BC=2BD．
∵BC=2AD，∴BD=AD．
∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠B=∠BAD=45°，∴∠BAC=2∠BAD=90°．
∵∠AED=∠AFD=90°，∴四边形AEDF是矩形．
∵AE=AF，∴矩形AEDF是正方形．
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