Question

如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂…，如此进行下去，得到四边形A_nB_nC_nD_n．下列结论正确的有（ ）
①四边形A₂B₂C₂D₂是矩形；   
②四边形A₄B₄C₄D₄是菱形；
③四边形A₅B₅C₅D₅的周长是
④四边形A_nB_nC_nD_n的面积是．

A．①②
B．②③
C．②③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A₅B₅C₅D₅的周长；
④根据四边形A_nB_nC_nD_n的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
解答：解：①连接A₁C₁，B₁D₁．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁，
∴A₁D₁∥BD，B₁C₁∥BD，C₁D₁∥AC，A₁B₁∥AC；
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁B₁∥C₁D₁，
∴四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形；
∵AC丄BD，∴四边形A₁B₁C₁D₁是矩形，
∴B₁D₁=A₁C₁（矩形的两条对角线相等）；
∴A₂D₂=C₂D₂=C₂B₂=B₂A₂（中位线定理），
∴四边形A₂B₂C₂D₂是菱形； 
故本选项错误；

②由①知，四边形A₂B₂C₂D₂是菱形； 
∴根据中位线定理知，四边形A₄B₄C₄D₄是菱形；
故本选项正确；

③根据中位线的性质易知，A₅B₅=A₃B₃=×A₁B₁=××AC，B₅C₅=B₃C₃=×B₁C₁=××BD，
∴四边形A₅B₅C₅D₅的周长是2×（a+b）=；
故本选项正确；

④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S_{四边形ABCD}=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形A_nB_nC_nD_n的面积是；
故本选项正确；
综上所述，②③④正确．
故选C．
点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．