Question

【题目】课本中有一道作业题： 有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．


（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

Answer 1

【答案】
（1）解：设矩形的边长PN=2y（mm），则PQ=y（mm），由条件可得△APN∽△ABC，

∴ ，

即 = ，

解得y= ，

∴PN= ×2= （mm），

答：这个矩形零件的两条边长分别为 mm， mm

（2）解：设PN=x（mm），矩形PQMN的面积为S（mm2），

由条件可得△APN∽△ABC，

∴ ，

即 = ，

解得PQ=80﹣ x．

∴S=PNPQ=x（80﹣ x）=﹣ x2+80x=﹣ （x﹣60）2+2400，

∴S的最大值为2400mm2，此时PN=60mm，PQ=80﹣ ×60=40（mm）

【解析】（1）设PN=2y（mm），则PQ=y（mm），然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；（2）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的最值的相关知识，掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a，以及对相似三角形的应用的理解，了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．