题目内容
如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）
（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；
（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；
（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．
分析：利用直角△ABC的边长就可以表示出S1、S2、S3的大小．三角形的边满足勾股定理．
解答：解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2
（1）S1=S2+S3；
（2）S1=S2+S3．证明如下：
显然，S1=
c2，S2=
a2，S3=
b2
∴S2+S3=
(a2+b2)=
c2=S1，
即S1=S2+S3．
（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：
∵所作三个三角形相似
∴
=
，
=
∴
=
=1
∴S1=S2+S3；
（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．
（1）S1=S2+S3；
（2）S1=S2+S3．证明如下：
显然，S1=
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
∴S2+S3=
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
即S1=S2+S3．
（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：
∵所作三个三角形相似
∴
| S2 |
| S1 |
| a2 |
| c2 |
| S3 |
| S1 |
| b2 |
| c2 |
∴
| S2+S3 |
| S1 |
| a2+b2 |
| c2 |
∴S1=S2+S3；
（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．
点评：本题是对勾股定理进行的证明，难易程度适中．
练习册系列答案
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经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1。
