Question

如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y=

1

4

x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．
（1）求B点坐标；
（2）求证：ME是⊙P的切线；
（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，
①求△ACQ周长的最小值；
②若FQ=t，S_△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，由正方形CDEF的面积为1，可得CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由PB=PE，根据勾股定理即可求得n的值，继而求得B的坐标；
（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM的长，则可得△PEF∽△EMF，则可证得∠PEM=90°，即ME是⊙P的切线；
（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=A′Q，△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值；
②分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段FN上时，当Q点在N点下方时去分析即可求得答案．

解答：（1）解：如图甲，连接PE、PB，设PC=n，
∵正方形CDEF的面积为1，
∴CD=CF=1，
根据圆和正方形的轴对称性知：OP=PC=n，
∴BC=2PC=2n，
∵而PB=PE，
∴PB²=BC²+PC²=4n²+n²=5n²，PE²=PF²+EF²=（n+1）²+1，
∴5n²=（n+1）²+1，
解得：n=1或n=-

1

2

（舍去），
∴BC=OC=2，
∴B点坐标为（2，2）；

（2）证明：如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），
∵A，C在抛物线上，
∴

c=2 1 4 × 4+2b+c=0

，
解得：

c=2 b=- 3 2

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

4

x²-

3

2

x+2=

1

4

（x-3）²-

1

4

，
∴抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线，
∵C与G关于直线x=3对称，
∴CF=FG=1，
∴MF=

1

2

FG=

1

2

，
在Rt△PEF与Rt△EMF中，
∠EFM=∠EFP，
∵

FM

EF

=

1 2

1

=

1

2

，

EF

PF

=

1

2

，
∴

FM

EF

=

EF

PF

，
∴△PEF∽△EMF，
∴∠EPF=∠FEM，
∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°，
∴ME是⊙P的切线；

（3）解：①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，
则有AQ=A′Q，
∴△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，
∵A与A′关于直线x=3对称，
∴A（0，2），A′（6，2），
∴A′C=

(6-2) 2+2 2

=2

5

，而AC=

22+22

=2

2

，
∴△ACQ周长的最小值为2

2

+2

5

；
②当Q点在F点上方时，S=S_梯形ACFK-S_△AKQ-S_△CFQ=

1

2

×（3+1）×2-

1

2

×（2-t）×3-

1

2

×t×1=t+1，
同理，可得：当Q点在线段FN上时，S=1-t，
当Q点在N点下方时，S=t-1．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，题目难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用．