题目内容
如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上),若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上),抛物线经过A、C两点,与x轴的另一交点为G,M是FG的中点,正方形CDEF的面积为1。
(1)求B点坐标;
(2)求证:ME是⊙P的切线;
(3)设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点,①求△ACQ周长的最小值;②若FQ=t,S△ACQ=s,直接写出s与t之间的函数关系式。
(1)求B点坐标;
(2)求证:ME是⊙P的切线;
(3)设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点,①求△ACQ周长的最小值;②若FQ=t,S△ACQ=s,直接写出s与t之间的函数关系式。
解:(1)如图甲,连接PE、PB,设PC=n, ∵正方形CDEF的面积为1, ∴CD=CF=1, 根据圆和正方形的对称性知:OP=PC=n, ∴BC=2PC=2n, ∵而PB=PE, ∴PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2, PE2=PF2+EF2=(n+1)2+1, ∴5n2=(n+1)2+1, 解得:n=1(n=舍去), ∴BC=OC=2, ∴B点坐标为(2,2); |
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(2)如图甲,由(1)知A(0,2),C(2,0), ∵A,C在抛物线上, ∴, ∴, ∴抛物线的解析式为:, 即 ∴抛物线的对称轴为x=3,即EF所在直线, ∵C与G关于直线x=3对称, ∴CF=FG=1, ∴MF=FG=, 在Rt△PEF与Rt△EMF中, , ∴, ∴△PEF∽△EMF, ∴∠EPF=∠FEM, ∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°, ∴ME是⊙P的切线; |
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(3)①如图乙,延长AB交抛物线于A′,连CA′交对称轴x=3于Q,连AQ,则有AQ=A′Q, ∴△ACQ周长的最小值为(AC+A′C)的长, ∵A与A′关于直线x=3对称, ∴A(0,2),A′(6,2), ∴A′C=, 而AC=, ∴△ACQ周长的最小值为; ②当Q点在F点上方时,S=t+1, 当Q点在线段FN上时,S=1-t, 当Q点在N点下方时,S=t-1。 |
图乙 |
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