Question

已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点．
（1）如图1，若点C的横坐标为-4，求点B的坐标；
（2）如图2，BC交x轴于D，AD平分∠BAC，若点C的纵坐标为3，A（5，0），求点D的坐标．
（3）如图3，分别以OB、AB为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y轴于M，求 S_△BEM：S_△ABO．

Answer 1

分析：（1）作CM⊥y轴于M，则CM=4，求出∠ABC=∠AOB=90゜，∠CBM=∠BAO，证△BCM≌△ABO，求出OB=CM=4即可．
（2）作CM⊥x轴于M，交AB的延长线于N，得出∠AMC=∠AMN=90°，∠CAM=∠NAM，证△AMC≌△AMN，推出CM=MN=3，CN=6，证△CBN≌△ABD，求出AD=CN=6，即可得出答案；
（3）作EN⊥y轴于N，求出∠NBE=∠BAO，证△ABO≌△BEN，推出△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF，
∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，证△BFM≌△NEM，推出BM=NM，根据三角形面积公式得出S_△BEN=S_△BEM=

1

2

S_△BEN=

1

2

S_△ABO，即可得出答案．

解答：解：
（1）如图1，作CM⊥y轴于M，则CM=4，
∵∠ABC=∠AOB=90゜，
∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠CBM=∠BAO，
在△BCM和△ABO中

∠BMC=∠AOB ∠CBM=∠BAO BC=AB

∴△BCM≌△ABO（AAS），
∴OB=CM=4，
∴B（0，-4）．

（2）如图2，作CM⊥x轴于M，交AB的延长线于N，
则∠AMC=∠AMN=90°，
∵点C的纵坐标为3，
∴CM=3，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAM=∠NAM，
∴在△CAM和△NAM中

∠CAM=∠NAM AM=AM ∠AMC=∠AMN

∴△AMC≌△AMN（ASA），
∴CM=MN=3，
∴CN=6，
∵CM⊥AD，∠CBA=90°，
∴∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°，
∵∠CDM=∠BDA，∠CMD+∠CDM+∠NCB=180°，∠BDA+∠BAD+∠DBA=180°，
∴∠NCB=∠BAD，
在△CBN和△ABD中

∠NCB=∠BAD BC=AB ∠CBN=∠ABD

∴△CBN≌△ABD（ASA），
∴AD=CN=2CM=6，
∵A（5，0），
∴D（-1，0）．

（3）如图3，作EN⊥y轴于N，
∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，
∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠NBE=∠BAO，
在△ABO和△BEN中

∠AOB=∠BNE ∠BAO=∠NBE AB=BE

∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF，
∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，
∴在△BFM和△NEM中

∠FMB=∠EMN ∠FBM=∠ENM BF=NE

∴△BFM≌△NEM（AAS），
∴BM=NM，
∵△BME边BM上的高和△NME的边MN上的高相等，
∴S_△MEN=S_△BEM=

1

2

S_△BEN=

1

2

S_△ABO，
即S_△BEM：S_△ABO=1：2．

点评：本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．