题目内容

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．
（1）如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2=S3；
（2）如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（3）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2、S3，根据（2）中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；
（4）若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积．
分析：（1）由扇形的面积公式可知S1=
1
8
πAC2，S2=
1
8
πBC2，S3=
1
8
πAB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即S1+S2=S3；
（2）根据（1）中的求解即可得出答案；
（3）利用（2）中的结论进行求解．
解答：解：（1）∵S1+S2=
1
8
πa2+
1
8
πb2，S3=
1
8
πc2
根据勾股定理可知：S1+S2=S3；

（2）S1+S2=S3；

（3）S阴影部分=S1+S2-（S3-S△ABC）
=S△ABC=
1
2
×6×8=24．
点评：本题考查勾股定理的应用，难度适中，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．
练习册系列答案
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精英家教网如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是边AB的中点，E、G分别是边AC、BC上的一点，∠EMG=45°，AC与MG的延长线相交于点F．
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（2）连接结EG，当AE=3时，求EG的长．
精英家教网已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，b=2
3
，解这个直角三角形．
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（3）当△PAC构成等边三角形时，求出AD、DP的长；
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（1）观察图形，猜想BD与⊙O的位置关系：
相切
相切
；
（2）证明第（1）题的猜想．

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