Question

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA．

（1）若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB；
（2）求证：∠MPB＝90°－ ∠FCM．

Answer 1

（1）连结MD
∵点E是DC的中点，ME⊥DC ∴MD=MC
又∵AD=CF,MF=MA ∴△AMD≌△FMC
∴∠MAD=∠MFC=120° ∵AD∥BC，∠ABC＝90°
∴∠BAD＝90°      ∴∠MAB＝30°
在Rt△AMB中，∠MAB＝30°
∴BM=AM．,即AM=2BM
(2)∵△AMD≌△FMC ∴∠ADM=∠FCM
∵AD∥BC        ∴∠ADM=∠CMD
∴∠CMD=∠FCM
∵MD=MC,ME⊥DC
∴∠DME==∠CME=∠CMD
∴∠CME=∠FCM
在在Rt△MBP中，∠MPB＝90°-∠CME=90°- ∠FCM

（1）连接MD，由于点E是DC的中点，ME⊥DC，所以MD=MC，然后利用已知条件证明△AMD≌△FMC，根据全等三角形的性质可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°，接着得到∠MAB=30°，再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可证明AM=2BM；
（2）利用（1）的结论得到∠ADM=∠FCM，又AD∥BC，所以∠ADM=∠CMD，由此得到∠CMD=∠FCM，再利用等腰三角形的性质即可得到∠CME=∠FCM，再根据已知条件即可解决问题．