Question

【题目】如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．

（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴
∴BD=CD
（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知： ，
∴∠BAD=∠CBD，
又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上
【解析】(1)根据垂径定理可得弧BD=弧CD，再由同圆或等圆中，等弧所对的弦相等可得BD=CD。
（2）由（1）知弧BD=弧CD，由同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得∠BAD=∠CBD，再由角平分线的定义可得∠CBE=∠ABE，根据三角形的外角定理可证∠DBE=∠DEB，根据等边对等角可得DB=DE，结合（1）的结论可得DB=DE=DC．于是可知B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．