Question

【题目】如图，在中，D是边AB的中点，E是边AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使，连接EF、AG，已知，，．

（1）试说明；

（2）请你连接EG，设，，求y关于x的函数关系式；

（3）当是以BF为腰的等腰三角形时，直接写出AE的长，不必说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）；（3）AE的长度为或

【解析】

（1）由D是AB中点知AD=DB，结合DG=DF，∠ADG=∠BDF即可证得，从而可得结论；

（2）连接EG．根据垂直平分线的判定定理即可证明EF=EG,由△ADG≌△BDF，推出∠GAB=∠B，推出∠EAG=90°，可得EF2=（8-x）2+y2，EG2=x2+（6-y）2，根据EF=EG，可得（8-x）2+y2=x2+（6-y）2，由此即可解决问题；

（3）如图2中，分两种情况讨论即可．①当BF=DB时．②当DF=FB时，连接DC，过点D作DH⊥BC于H，想办法求出y的值，再利用（2）的结论即可解决问题．

（1）∵D是AB中点，

∴，

∵，

∴，

∴．

（2）如图，连接EG．

∵DG=FD，DF⊥DE，

∴EF=EG．

∵，，

∴，

又∵，

∴，

∴是直角三角形，且，

∴，

由（1）知

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

（3）如图2中，

①当BF=DB时，6-y=5，

∴y=1，1=，

∴x=，即AE=．

②当DF=FB时，连接DC，过点D作DH⊥BC于H，则DF=FB=6-y，

∵∠ACB=90°，D是AB中点，

∴DC=DB=5，

∵DH⊥BC，BC=6，

∴CH=BH=3，

∴FH=3-y，

∵DH⊥BC，由勾股定理可得DH=4，

在Rt△DHF中，（6-y）2=42+（3-y）2，

解得y=，

∴=，

解得x=，即AE=.

综上所述，AE的长度为或．