题目内容
【题目】如图(1),在四边形ABCD中,已知∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,AB⊥AD,点E在CD的延长线上,且∠BAC=∠DAE.
(1)求证:AC=AE;
(2)求证:CA平分∠BCD;
(3)如图(2),设AF是△ABC的边BC上的高,试求CE与AF之间的数量关系.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)EC=2AF.
【解析】
(1)首先根据∠ABC+∠ADC=180°,∠ADE+∠ADC=180°,得出∠ABC=∠ADE,进而可判定△ABC≌△ADE(ASA),即可得出AC=AE;
(2)由(1)中△ABC≌△ADE得出AC=AE,∠BCA=∠E,进而得出∠ACD=∠E,∠BCA=∠E=∠ACD,即可判定CA平分∠BCD;
(3)首先过点A作AM⊥CE,由角平分线的性质得出AF=AM,然后由∠BAC=∠DAE,得出∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠BAC=∠BAD=90°,再由AC=AE,∠CAE=90°,得出∠ACE=∠AEC=45°,由AM⊥CE,得出∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°,进而得出CM=AM=ME,又由AF=AM,即可得出EC=2AF.
(1)证明:如图(1),∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADE+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADE,
在△ABC与△ADE中,
,
∴△ABC≌△ADE(ASA)
∴AC=AE.
(2)证明:如图(1),∵△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠BCA=∠E,
∴∠ACD=∠E,
∴∠BCA=∠E=∠ACD,
即CA平分∠BCD;
(3)解:EC=2AF.证明如下:
如图(2),过点A作AM⊥CE,垂足为M,
∵AM⊥CD,AF⊥CF,∠BCA=∠ACD,
∴AF=AM,
又∵∠BAC=∠DAE,
∴∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠BAC=∠BAD=90°,
∵AC=AE,∠CAE=90°,
∴∠ACE=∠AEC=45°,
∵AM⊥CE,
∴∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°,
∴CM=AM=ME,
又∵AF=AM,
∴EC=2AF.