Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折得到与原抛物线剩余的部分组成如图所示的图形，若直线y=kx+1与这个图形只有两个公共点，请求出此时k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当k=1时，抛物线的解析式为y=x2﹣1，直线的解析式为y=x+1，

联立直线与抛物线，得：

，

解得x1=﹣1，x2=2，

当x=﹣1时，y﹣x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，

∴A（﹣1，0），B（2，3）

（2）

解：设P（x，x2﹣1）如下图，

过点P作PF∥y轴，交直线AB于F，

则F（x，x+1），

PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2，

S△ABP=S△PFA+S△PFB= PF（xF﹣xA）+ PF（xB﹣xF） PF，

S△ABP= （﹣x2+x+2）=﹣ （x﹣ ）2+

∵当x= 时，yP=（ ）2﹣1=﹣ ，

∴△ABP面积的最大值为 ，

此时点P的坐标（ ，﹣ ）

（3）

解：如下图：

令二次函数y=0，

x2+（k﹣1）x﹣k=0，

即：（x+k）（x﹣1）=0，

x=﹣k，或x=1，

C（﹣k，0），D（1，0），

直线y=kx+1过（0，1），

将抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k关于x轴对称，

得：y=﹣x2﹣（k﹣1）x+k

联立直线y=kx+1，得：

x2+（2k﹣1）x+1﹣k=0

△=（2k﹣1）2﹣4（1﹣k）=0

得：k= （舍）或k=﹣ ，

∵k＞0，

∴0＜k＜ ，

∵直线y=kx+1经过点C（﹣1，0）时，k=1，

∴由图象可知，0＜k＜ 或k＞1时，直线y=kx+1与这个图形只有两个公共点

【解析】（1）将k=1代入抛物线解析式和直线解析式，联立方程组，即可求出交点A、B的坐标；（2）过点P做y轴平行线，将三角形ABP分割成两个小三角形，以PF为底，则两个三角形高的和为AB两点的水平距离，即可求出三角形面积；（3）将图形折叠，求出直线与翻折后的抛物线相切的情况，联立方程组，求出k值，结合k＞0，即可求出k的取值范围．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．