Question

如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD⊥AD．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）作AG⊥CB于G，若AD=1，AG=2，求sinC的值；
（3）若（2）中的四边形AGCD为一不可卷折的板材，问该板材能否通过一直径为1.8的圆洞门？请计算说明．

Answer 1

（1）证明：在平行四边形ABCD中，DC=AB，DC∥AB，
∴E，F分别是AB，CD的中点，
∴DF=BE，DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵BD⊥AD，
所以DE=AB=BE，
∴四边形BEDF是菱形；

（2）解：由题意：DB⊥BC，
∴DB∥AC，又AD∥CG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴DB=AG=2．
在平行四边形ABCD中，BC=AD=1，
∴CD==，
∴sinC===；

（3）解：由（2）知，BG=AD=BC=1，
∴GC=2，
∴AG=GC=2＞1.8，
作GH⊥CD于H．在直角△GCH中，GH=GC•sinC=2×≈1.79＜1.8，
∴四边形能夹在平行于CD，且两者之间距离不足1.8的平行线之间．
∴该板材可以通过直径是1.8的圆洞口．
分析：（1）根据平行线的判定定理，证明对角线互相垂直的平行四边形是平行四边形是菱形，即可判断；
（2）首先可以证得：四边形AGBD是矩形，然后根据勾股定理即可求解；
（3）利用三角函数求得GH的长度，然后与1.8比较大小，即可判断．
点评：本题考查了平行四边形的性质，以及三角函数，正确求得CD的长是关键．