Question

【题目】从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

（1）如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，当∠BCD=40°时，证明：CD为△ABC的完美分割线.

（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以AC为底边的等腰三角形，求∠ACB的度数.

（3）如图2，在△ABC中，AC=2，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CD的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACB=96°；（3）CD的长为-1.

【解析】

（1）根据三角形内角和定理可求出∠ACB=80°，进而可得∠ACD=40°，即可证明AD=CD，由∠BCD=∠A=40°，∠B为公共角可证明三角形BCD∽△BAC，即可得结论；

（2）根据等腰三角形的性质可得∠ACD=∠A=48°，根据相似三角形的性质可得∠BCD=∠A=48°，进而可得∠ACB的度数；

（3）由相似三角形的性质可得∠BCD=∠A，由AC=BC=2可得∠A=∠B，即可证明∠BCD=∠B，可得BD=CD，根据相似三角形的性质列方程求出CD的长即可.

（1）∵∠A=40°，∠B=60°，

∴∠ACB=180°-40°-60°=80°，

∵∠BCD=40°，

∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=40°，

∴∠ACD=∠A，

∴AD=CD，即△ACD是等腰三角形，

∵∠BCD=∠A=40°，∠B为公共角，

∴△BCD∽△BAC，

∴CD为△ABC的完美分割线.

（2）∵△ACD是以AC为底边的等腰三角形，

∴AD=CD，

∴∠ACD=∠A=48°，

∵CD是△ABC的完美分割线，

∴△BCD∽△BAC，

∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.

（3）∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，

∴AD=AC=2，

∵CD是△ABC的完美分割线，

∴△BCD∽△BAC，

∴∠BCD=∠A，，

∵AC=BC=2，

∴∠A=∠B，

∴∠BCD=∠B，

∴BD=CD，

∴，即，

解得：CD=-1或CD=--1（舍去），

∴CD的长为-1.