Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，BC=7cm，AB=cm。点P从点B出发沿BC方向向点C运动，当点P到点C时，停止运动

（1）如图2，过点P作PQ⊥BC，PQ交AB于点Q，以PQ为一边向右侧作矩形PQRS，若点R恰好在边AC上，且满足QR=2PQ.求BP得值.

（2）以点P为圆心，BP为半径作圆.

①如图3，当⊙P与边AC相切于点E时，求BP的值;

②随着BP的变化，⊙P与△ABC三边的公共点的个数也在变化，请直接写出公共点个数与对应的BP的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②当时，⊙P与AB和BC均有2个公共点，与AC无公共点；当时，⊙P与AB和BC均有2个公共点，与AC有1个公共点；当时，⊙P与AB、BC和AC均有2个公共点；当时，⊙P与AB和AC有1个公共点，与BC有2个公共点；当时，⊙P与AB和BC有1个公共点，与AC无个公共点．

【解析】

（1）过点A做AD⊥BC，由AD是△ABC的高，∠ABC=45°，可得AD=BD，再由AB=cm，即可得出AD的长，设BP=PQ=x，根据相似三角形的判定和性质列比例式求解；①过点A做AD⊥BC，连接PE，根据勾股定理求AC，根据AA定理判定△ADC∽△PEC，然后列比例式求解；

解：（1）过点A做AD⊥BC，交QR于点E

∵AD⊥BC，∠ABC=45°，

∴AD=BD=

在矩形PQRS中RQ∥BC

∴△AQR∽△ABC

∴

设BP=PQ=x，则QR=2x，AE=3-x

∴

解得：x=

∴BP=

（2）①过点A做AD⊥BC，连接PE

由（1）可知，BD=AD=3

∴CD=BC-BD=7-3=4

∴在Rt△ADC中，

∵⊙P与边AC相切于点E

∴∠ADC=∠PEC=90°

又∵∠C=∠C

∴△ADC∽△PEC

∴

设BP=PE=x

∴

解得：x=

∴BP=

（3）由AB=，BC=7，(2)中BP=可知

当时，⊙P与AB和BC均有2个公共点，与AC无公共点；

当时，⊙P与AB和BC均有2个公共点，与AC有1个公共点；

当时，⊙P与AB、BC和AC均有2个公共点；

当时，⊙P与AB和AC有1个公共点，与BC有2个公共点；

当时，⊙P与AB和BC有1个公共点，与AC无个公共点．