题目内容

【题目】已知AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B.
(1)如图1,直接写出∠A和∠C之间的数量关系
(2)如图2,过点B作BD⊥AM于点D,求证:∠ABD=∠C;
(3)如图3,在(2)问的条件下,点E、F在DM上,连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数.

【答案】
(1)∠A+∠C=90°;
(2)解:如图2,过点B作BG∥DM,

∵BD⊥AM,

∴DB⊥BG,即∠ABD+∠ABG=90°,

又∵AB⊥BC,

∴∠CBG+∠ABG=90°,

∴∠ABD=∠CBG,

∵AM∥CN,

∴∠C=∠CBG,

∴∠ABD=∠C;


(3)解:如图3,过点B作BG∥DM,

∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,

∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,

由(2)可得∠ABD=∠CBG,

∴∠ABF=∠GBF,

设∠DBE=α,∠ABF=β,则

∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,∠GBF=β=∠AFB,∠BFC=3∠DBE=3α,

∴∠AFC=3α+β,

∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,

∴∠FCB=∠AFC=3α+β,

△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得

(2α+β)+3α+(3α+β)=180°,①

由AB⊥BC,可得

β+β+2α=90°,②

由①②联立方程组,解得α=15°,

∴∠ABE=15°,

∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.


【解析】(1)根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可;(2)先过点B作BG∥DM,根据同角的余角相等,得出∠ABD=∠CBG,再根据平行线的性质,得出∠C=∠CBG,即可得到∠ABD=∠C;(3)先过点B作BG∥DM,根据角平分线的定义,得出∠ABF=∠GBF,再设∠DBE=α,∠ABF=β,根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得(2α+β)+3α+(3α+β)=180°,根据AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,最后解方程组即可得到∠ABE=15°,进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
【考点精析】解答此题的关键在于理解余角和补角的特征的相关知识,掌握互余、互补是指两个角的数量关系,与两个角的位置无关,以及对平行线的判定与性质的理解,了解由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质.

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